為什麼對數能縮短計算時間

① 對數的發明為什麼比指數要早

延長天文學家壽命的發現——納皮爾發現對數 自古以來，人們的日常生活和所從事的許多領域，都離不開數值計算，並且隨著人類社會的進步，對計算的速度和精確程度的需要愈來愈高，這就促進了計算技術的不斷發展。印度阿拉伯記數法、十進小數和對數是文藝復興時期計算技術的三大發明，它們是近代數學得以產生和發展的重要條件。其中對數的發現，曾被18世紀法國大數學家、天文學家拉普拉斯評價為「用縮短計算時間延長了天文學家的壽命」。 對數思想的萌芽 對數的基本思想可以追溯到古希臘時代。早在公元前500年，阿基米德就研究過幾個10的連乘積與10的個數之間的關系，用現在的表達形式來說，就是研究了這樣兩個數列：1，10，102，103，104，105，……；0，1，2，3，4，5，…… 他發現了它們之間有某種對應關系。利用這種對應可以用第二個數列的加減關系來代替第一個數列的乘除關系。阿基米德雖然發現了這一規律，但他卻沒有把這項工作繼續下去，失去了對數破土而出的機會。 2000年後，一位德國數學家對對數的產生作出了實質性貢獻，他就是史蒂非。1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的發現，他寫出兩個數列：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……；1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048…… 他發現，上一排數之間的加、減運算結果與下一排數之間的乘、除運算結果有一種對應關系，例如，上一排中的兩個數2、5之和為7，下一排對應的兩個數4、32之積128正好就是2的7次方。實際上，用後來的話說，下一列數以2為底的對數就是上一列數，並且史蒂非還知道，下一列數的乘法、除法運算，可以轉化為上一列數的加法、減法運算。例如，23×25＝23＋5，等等。 就在史蒂非悉心研究這一發現的時候，他遇到了困難。由於當時指數概念尚未完善，分數指數還沒有認識，面對像17×63，1025÷33等情況就感到束手無策了。在這種情況下，史蒂非無法繼續深入研究下去，只好停止了這一工作。但他的發現為對數的產生奠定了基礎。 納皮爾的功績 15、16世紀，天文學得到了較快的發展。為了計算星球的軌道和研究星球之間的位置關系，需要對很多的數據進行乘、除、乘方和開方運算。由於數字太大，為了得到一個結果，常常需要運算幾個月的時間。繁難的計算苦惱著科學家，能否找到一種簡便的計算方法？數學家們在探索、在思考。如果能用簡單的加減運算來代替復雜的乘除運算那就太好了！這一夢想終於被英國數學家納皮爾實現了。 納皮爾於1550年生於蘇格蘭的愛丁堡。他家是蘇格蘭的貴族，他13歲入聖安德盧斯大學學習，後來留學歐洲，1571年回到家鄉。納皮爾是一位地主，他曾在自己的田地里進行肥料施肥試驗，研究過飼料的配合，還設計製造過抽水機。他的興趣十分廣泛，一方面熱衷於政治和宗教斗爭，一方面投身於數學研究。他在球面三角學的研究中有一系列突出的成果。 納皮爾研究對數的最初目的，就是為了簡化天文問題的球面三角的計算，他也是受了等比數列的項和等差數列的項之間的對應關系的啟發。納皮爾在兩組數中建立了這樣一種對應關系：當第一組數按等差數列增加時，第二組數按等比數列減少。於是，後一組數中每兩個數之間的乘積關系與前一組數中對應的兩個數的和，建立起了一種簡單的關系，從而可以將乘法歸結為加法運算。在此基礎上，納皮爾藉助運動概念與連續的幾何量的結合繼續研究。 納皮爾畫了兩條線段，設AB是一條定線段，CD是給定的射線，令點P從A出發，沿AB變速運動，速度跟它與B的距離成比例地遞減。同時，令點Q從C出發，沿CD作勻速運動，速度等於P出發時的值，納皮爾發現此時P、Q運動距離有種對應關系，他就把可變動的距離CQ稱為距離PB的對數。 納皮爾 納皮爾的棋盤計算器 納皮爾骨算籌 當時，還沒有完善的指數概念，也沒有指數符號，因而實際上也沒有「底」的概念，他把對數稱為人造的數。對數這個詞是納皮爾創造的，原意為「比的數」。 他研究對數用了20多年時間，1614年，他出版了名為《奇妙的對數定理說明書》的著作，發表了他關於對數的討論，並包含了一個正弦對數表。 有趣的是同一時刻瑞士的一個鍾表匠比爾吉也獨立發現了對數，他用了8年時間編出了世界上最早的對數表，但他長期不發表它。直到1620年，在開普勒的懇求下才發表出來，這時納皮爾的對數已聞名全歐洲了。 對數的完善 納皮爾的對數著作引起了廣泛的注意，倫敦的一位數學家布里格斯於1616年專程到愛丁堡看望納皮爾，建議把對數作一些改進，使1的對數為0，10的對數為1等等，這樣計算起來更簡便，也將更為有用。次年納皮爾去世，布里格斯獨立完成了這一改進，就產生了使用至今的常用對數。1617年，布里格斯發表了第一張常用對數表。1620年，哥萊斯哈姆學院教授甘特試作了對數尺。 當時，人們並沒有把對數定義為冪指數，直到17世紀末才有人認識到對數可以這樣來定義。1742年，威廉斯把對數定義為指數並進行系統敘述。現在人們定義對數時，都藉助於指數，並由指數的運演算法則推導出對數運演算法則。可在數學發展史上，對數的發現卻早於指數，這是數學史上的珍聞。 解析幾何與微積分出現以後，人們在研究曲線下的面積時，發現了面積與對數的聯系。比如，聖文森特的格雷果里在研究雙曲線xy＝1下的面積時，發現面積函數很像一個對數，後來他的學生沙拉薩第一個把面積解釋為對數。但當時並沒有認識到對數和雙曲線下面積之間的確切關系，更沒有認識到自然對數就是以e為底的對數。 後來，牛頓也研究過此類問題。歐拉在1748年引入了以a為底的x的對數logax這一表示形式，以作為滿足ay=x的指數y。並對指數函數和對數函數作了深入研究。而復變函數的建立，使人們對對數有了更徹底的了解。 天文學家的欣喜 對數的出現引起了很大的反響，不到一個世紀，幾乎傳遍世界，成為不可缺少的計算工具。其簡便演算法，對當時的世界貿易和天文學中大量繁難計算的簡化，起了重要作用，尤其是天文學家幾乎是以狂喜的心情來接受這一發現的。1648年，波蘭傳教士穆尼閣把對數傳到中國。 在計算機出現以前，對數是十分重要的簡便計算技術，曾得到廣泛的應用。對數計算尺幾乎成了工程技術人員、科研工作者離不了的計算工具。直到20世紀發明了計算機後，對數的作用才為之所替代。但是，經過幾代數學家的耕耘，對數的意義不再僅僅是一種計算技術，而且找到了它與許多數學領域之間千絲萬縷的聯系，對數作為數學的一個基礎內容，表現出極其廣泛的應用。 1971年，尼加拉瓜發行了一套郵票，尊崇世界上「十個最重要的數學公式」。每張郵票以顯著位置標出一個公式並配以例證，其反面還用西班牙文對公式的重要性作簡短說明。有一張郵票是顯示納皮爾發現的對數。 對數、解析幾何和微積分被公認是17世紀數學的三大重要成就，恩格斯贊譽它們是「最重要的數學方法」。伽利略甚至說：「給我空間、時間及對數，我即可創造一個宇宙。」 你現在明白了嗎？

② 對數的發明原理，及是什麼情況下根據什麼數學問題發明的，那個問題具體一點，以及是根據對數怎樣解決的。

蘇格蘭數學家約翰·維爾納獨立發明了對數，並於1614年在出版的名著《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理。

16世紀前半葉，歐洲人熱衷於地理探險和海洋貿易，需要更為准確的天文知識，而天文學的研究中，需要大量煩瑣的計算，特別是三角函數的連乘，蘇格蘭數學家約翰·維爾納首先推出了三角函數的積化和差公式，即：

①sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,

②cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .

開普勒利用對數表簡化了行星軌道的復雜計算，數學家拉普拉斯說：「對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」。

(2)為什麼對數能縮短計算時間擴展閱讀

對數發明之前，人們對三角運算中將三角函數的積化為三角函數的和或差的方法已很熟悉。

從對數的發明過程我們可以發現，納皮爾在討論對數概念時，並沒有使用指數與對數的互逆關系，造成這種狀況的主要原因是當時還沒有明確的指數概念，就連指數符號也是在20多年後的1637年才由法國數學家笛卡兒（R.Descartes，1596—1650）開始使用。

直到18世紀，才由瑞士數學家歐拉發現了指數與對數的互逆關系。在1770年出版的一部著作中，歐拉首先使用來定義 ，他指出：「對數源於指數」。

③ 對數、對數運算、對數函數的發展史

對數是中學初等數學中的重要內容，那麼當初是誰首創「對數」這種高級運算的呢？在數學史上，一般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾（Napier，1550-1617年）男爵。

在納皮爾所處的年代，哥白尼的「太陽中心說」剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科。可是由於當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的「天文數字」，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終於獨立發明了對數。
那麼，當時納皮爾所發明的對數運算，是怎麼一回事呢？在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法。讓我們來看看下面這個例子：
0、1、2、3、4 、5 、6 、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
這兩行數字之間的關系是極為明確的：第一行表示2的指數，第二行表示2的對應冪。如果我們要計算第二行中兩個數的乘積，可以通過第一行對應數字的加和來實現。
比如，計算64×256的值，就可以先查詢第一行的對應數字：64對應6，256對應8；然後再把第一行中的對應數字加和起來：6＋8＝14；第一行中的14，對應第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。
經過多年的探索，納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》，向世人公布了他的這項發明，並且解釋了這項發明的特點。
法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749-1827）曾說：對數，可以縮短計算時間，「在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍」。

④ 怎樣算對數什麼是對數

怎樣算對數什麼是對數

1對數的概念
如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等於N，即ab=N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作：logaN=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
由定義知：
①負數和零沒有對數;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特別地，以10為底的對數叫常用對數，記作log10N,簡記為lgN；以無理數e(e=2.718 28…)為底的對數叫做自然對數，記作logeN，簡記為lnN.
2對數式與指數式的互化
式子名稱abN指數式ab=N(底數)(指數)(冪值)對數式logaN=b(底數)(對數)(真數)
3對數的運算性質
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那麼
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
問：①公式中為什麼要加條件a>0,a≠1，M>0,N>0?
②logaan=? (n∈R)
③對數式與指數式的比較.(學生填表)
式子ab=NlogaN=b名稱a—冪的底數
b—
N—a—對數的底數
b—
N—運
算
性
質am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
難點疑點突破
對數定義中，為什麼要規定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，則N的某些值不存在，例如log-28?
②若a=0，則N≠0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數?
③若a=1時，則N≠1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數?
為了避免上述各種情況，所以規定對數式的底是一個不等於1的正數?
解題方法技巧
1
(1)將下列指數式寫成對數式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73.
（2）將下列對數式寫成指數式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg0.01=-2；
⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.
解析由對數定義：ab=N?logaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解題方法
指數式與對數式的互化，必須並且只需緊緊抓住對數的定義：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根據下列條件分別求x的值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)對數式化指數式，得：x=8-23=?
(2)log5x=20=1. x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x. x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1，x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6，
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.
解題技巧
①轉化的思想是一個重要的數學思想，對數式與指數式有著密切的關系，在解決有關問題時，經常進行著兩種形式的相互轉化.
②熟練應用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一，已知對數式的值，要求指數式的值，可將對數式轉化為指數式，再利用指數式的運算求值；
思路二，對指數式的兩邊取同底的對數，再利用對數式的運算求值?
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
解法二對所求指數式兩邊取以a為底的對數得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1.
解題技巧
有時對數運算比指數運算來得方便，因此以指數形式出現的式子，可利用取對數的方法，把指數運算轉化為對數運算.4
設x,y均為正數，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范圍.
解析一個等式中含兩個變數x、y，對每一個確定的正數x由等式都有惟一的正數y與之對應，故y是x的函數，從而lg(xy)也是x的函數.因此求lg(xy)的取值范圍實際上是一個求函數值域的問題，怎樣才能建立這種函數關系呢?能否對已知的等式兩邊也取對數?
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
兩邊取對數得：lgx+(1+lgx)lgy=0.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t, 則lgy=-t1+t(t≠-1).
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解題規律
對一個等式兩邊取對數是解決含有指數式和對數式問題的常用的有效方法；而變數替換可把較復雜問題轉化為較簡單的問題.設S=t21+t,得關於t的方程t2-St-S=0有實數解.
∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范圍是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)設lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;
(4)求7lg20·12lg0.7的值.
解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2與lg5的關系式.
(2)轉化為log32的關系式.
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式給出了a,b之間的關系，能否從中求出ab的值呢?
(4)7lg20·12lg0.7是兩個指數冪的乘積，且指數含常用對數，
設x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.
∴ab=1或ab=4，這里a>0,b>0.
若ab=1，則a-2b<0, ∴ab=1（ 捨去）.
∴ab=4,
∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.
(4)設x=7lg20·12lg0.7,則
lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12
=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)
=lg7+lg2=14,
∴x=14, 故原式=14.
解題規律
①對數的運演算法則是進行同底的對數運算的依據，對數的運演算法則是等式兩邊都有意義的恆等式，運用法則進行對數變形時要注意對數的真數的范圍是否改變，為防止增根所以需要檢驗，如(3).
②對一個式子先求它的常用對數值，再求原式的值是代數運算中常用的方法，如(4).6
證明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；
(2)logab·logbc=logac；
(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；
(4)loganbm=mnlogab.
解析(1)設logaN=b得ab=N,兩邊取以c為底的對數求出b就可能得證.
(2)中logbc能否也換成以a為底的對數.
(3)應用(1)將logab換成以b為底的對數.
(4)應用(1)將loganbm換成以a為底的對數.
解答(1)設logaN=b，則ab=N,兩邊取以c為底的對數得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
(2)由(1)logbc=logaclogab.
所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.
(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.
解題規律
(1)中logaN=logcNlogca叫做對數換底公式，(2)(3)(4)是(1)的推論，它們在對數運算和含對數的等式證明中經常應用. 對於對數的換底公式，既要善於正用，也要善於逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.
7
已知log67=a,3b=4,求log127.
解析依題意a,b是常數，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否將log127轉化為以6為底的對數，進而轉化為以3為底呢?
解答已知log67=a,log34=b,
∴log127=log67log612=a1+log62.
又log62=log32log36=log321+log32,
由log34=b,得2log32=b.
∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.
∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.
解題技巧
利用已知條件求對數的值，一般運用換底公式和對數運演算法則，把對數用已知條件表示出來，這是常用的方法技巧?8
已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.
(1)求滿足2x=py的p值；
(2)求與p最接近的整數值；
(3)求證：12y=1z-1x.
解析已知條件中給出了指數冪的連等式，能否引進中間量m，再用m分別表示x,y,z?又想，對於指數式能否用對數的方法去解答?
解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316,
∴p=log316.
解法二設3x=4y=m,取對數得：
x·lg3=lgm，ylg4=lgm,
∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.
由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,
∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.
(2)∵2=log39<log316<log327=3,
∴2<p<3.
又3-p=log327-log316=log32716,
p-2=log316-log39=log3169,
而2716<169,
∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.
∴與p最接近的整數是3.
解題思想
①提倡一題多解.不同的思路，不同的方法，應用了不同的知識或者是相同知識的靈活運用，既發散了思維，又提高了分析問題和解決問題的能力，何樂而不為呢?
②(2)中涉及比較兩個對數的大小.這是同底的兩個對數比大小.因為底3>1，所以真數大的對數就大，問題轉化為比較兩個真數的大小，這里超前應用了對數函數的單調性，以鼓勵學生超前學習，自覺學習的學習積極性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由於x，y，z∈R+，
∴k>1，則 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,
所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，
故12y=1z-1x.
解法二3x=4y=6z=m，
則有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，
③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.
∴1z-1x=12y.
9
已知正數a,b滿足a2+b2=7ab.求證：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).
解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求證式中真數都只含a,b的一次式，想：能否將真數中的一次式也轉化為二次，進而應用a2+b2=7ab?
解答logma+b3=logm(a+b3)212=
解題技巧
①將a+b3向二次轉化以利於應用a2+b2=7ab是技巧之一.
②應用a2+b2=7ab將真數的和式轉化為ab的乘積式，以便於應用對數運算性質是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.
∵a2+b2=7ab,
∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),
即logma+b3=12(logma+logmb).
思維拓展發散
1
數學興趣小組專門研究了科學記數法與常用對數間的關系.設真數N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.這就是用科學記數法表示真數N.其科學性體現在哪裡?我們只要研究數N的常用對數，就能揭示其中的奧秘.
解析由已知，對N=a×10n取常用對數得，lgN=n+lga.真數與對數有何聯系?
解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，
∴lga∈〔0,1).
我們把整數n叫做N的常用對數的首數，把lga叫做N的常用對數的尾數，它是正的純小數或0.
小結：①lgN的首數就是N中10n的指數，尾數就是lga,0≤lga<1;
②有效數字相同的不同正數它們的常用對數的尾數相同，只是首數不同；
③當N≥1時，lgN的首數n比它的整數位數少1，當N∈(0，1)時，lgN的首數n是負整數，|n|-1與N的小數點後第一個不是0的有效數字前的零的個數相同.
師生互動
什麼叫做科學記數法？
N>0,lgN的首數和尾數與a×10n有什麼聯系？
有效數字相同的不同正數其常用對數的什麼相同？什麼不同？
2
若lgx的首數比lg1x的首數大9，lgx的尾數比lg1x的尾數小0?380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.
解析①lg0.203 4=1?308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是對數的首數，0.308 3是對數的尾數，是正的純小數；②若設lgx=n+lga，則lg1x也可表出.
解答設lgx=n+lga,依題意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).
又lg1x=-lgx=-(n+lga),
∴(n-9)+(lga+0?380 4)=-n-lga，其中n-9是首數，lga+0?380 4是尾數，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首數1-lga是尾數，所以：
n-9=-(n+1)
lga+0.380 4=1-lga?n=4,
lga=0.308 3.
∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,
∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.
∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.

什麼是對數及對數坐標

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什麼是對數

對數的定義：
1.如果 a^x=N（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作 x=logaN .其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。且a>o，a≠1，N>0
2.特別地，我們稱以10為底的對數叫做常用對數（mon logarithm），並把log10N 記為 lgN.
3.稱以無理數e（e=2.71828...）為底的對數稱為自然對數（natural logarithm），並把logeN 記為 lnN.
零沒有對數.[1]在實數范圍內，負數無對數。在復數范圍內，負數有對數。
如：㏑(-5)=㏑[(-1)*5]=㏑(-1)+㏑5=iπ+㏑5.
而事實上，當θ=(2k+1)π時(k∈Z），e^[(2k+1)πi]+1=0，這樣，㏑(-1)的具有周期性的多個值，㏑(-1)=(2k+1)πi。這樣，任意一個負數的自然對數都具有周期性的多個值。
例如：㏑(-5)=(2k+1)πi+㏑5。
loga1=0，logaa=1

對數的概念：
如果b^nx，則記n=log(b)(x)。其中，b叫做「底數」，x叫做「真數」，n叫做「以b為底的x的對數」。
log(b)(x)函數中x的定義域是x>0，零和負數沒有對數；b的定義域是b>0且b≠1
對數的歷史：
對數是中學初等數學中的重要內容，那麼當初是誰首創「對數」這種高級運算的呢？在數學史上，一般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾（Napier，1550-1617年）男爵。在納皮爾所處的年代，哥白尼的「太陽中心說」剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科。可是由於當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的「天文數字」，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終於獨立發明了對數。當然，納皮爾所發明的對數，在形式上與現代數學中的對數理論並不完全一樣。在納皮爾那個時代，「指數」這個概念還尚未形成，因此納皮爾並不是像現行代數課本中那樣，通過指數來引出對數，而是通過研究直線運動得出對數概念的。那麼，當時納皮爾所發明的對數運算，是怎麼一回事呢？在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法。讓我們來看看下面這個例子：
0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
這兩行數字之間的關系是極為明確的：第一行表示2的指數，第二行表示2的對應冪。如果我們要計算第二行中兩個數的乘積，可以通過第一行對應數字的加和來實現。比如，計算64×256的值，就可以先查詢第一行的對應數字：64對應6，256對應8；然後再把第一行中的對應數字加和起來：6＋8＝14；第一行中的14，對應第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。納皮爾的這種計算方法，實際上已經完全是現代數學中「對數運算」的思想了。回憶一下，我們在中學學習「運用對數簡化計算」的時候，採用的不正是這種思路嗎：計算兩個復雜數的乘積，先查《常用對數表》，找到這兩個復雜數的常用對數，再把這兩個常用對數值相加，再通過《常用對數的反對數表》查出加和值的反對數值，就是原先那兩個復雜數的乘積了。這種「化乘除為加減」，從而達到簡化計算的思路，不正是對數運算的明顯特徵嗎？經過多年的探索，納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》，向世人公布了他的這項發明，並且解釋了這項發明的特點。所以，納皮爾是當之無愧的「對數締造者」，理應在數學史上享有這份殊榮。偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀的三大數學發明。法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾說對數可以縮短計算時間，「在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍」。
對數的性質及推導
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數
*表示乘號，/表示除號
定義式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推導
1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性質1(換掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]
由指數的性質
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3.與2類似處理
MN=M/N
由基本性質1(換掉M和N)
a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]
由指數的性質
a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4.與2類似處理
M^n=M^n
由基本性質1(換掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指數的性質
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性質：
性質一：換底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
推導如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
綜合兩式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因為N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {這步不明白或有疑問看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
性質二：（不知道什麼名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導如下
由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
由基本性質4可得
log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性質及推導 完 ）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
證明如下:
由換底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b為底的對數,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
還可變形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1

對數，是一個數學名詞，也是一種數學方法！
在數學中，對數是對求冪的逆運算，正如除法是乘法的倒數，反之亦然。 這意味著一個數字的對數是必須產生另一個固定數字（基數）的指數。 在簡單的情況下，乘數中的對數計數因子。更一般來說，乘冪允許將任何正實數提高到任何實際功率，總是產生正的結果，因此可以對於b不等於1的任何兩個正實數b和x計算對數。
如果a的x次方等於N（a>0，且a不等於1），那麼數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作x=logaN。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。

如果 a^x=N（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底N的對數，記作 x=log(a) N .其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。且a>o，a≠1，N>0

2的3次方＝8，5的多少次方＝625呢，答案是4,像這種求某數的x次方等於另一個數（即已知a,b,求a的多少次方等於b）的就是對數

是一種函數

⑤ 對數對天文學推動作用

對數是中學初等數學中的重要內容，那麼當初是誰首創「對數」這種高級運算的呢？在數學史上，一般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾（Napier，1550-1617年）男爵。 他一生研究數學，以發明對數運算而著稱。那時候天文學家Tycho Brahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的觀察，需要很多的計算，而且要算幾個數的連乘，因此苦不堪言。1594年，他為了尋求一種球面三角計算的簡便方法，運用了獨特的方法構造出對數方法。這讓他在數學史上被重重地記上一筆，然而完成此對數卻整整花了他20年的工夫。1614年6月在愛丁堡出版的第一本對數專著《奇妙的對數表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中闡明了對數原理，後人稱為納皮爾對數：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜訪納皮爾，建議將對數改良一下以十為基底的對數表最為方便，這也就是後來常用的對數了。可惜納皮爾隔年於1617年春天去世，後來就由Briggs以畢生精力繼承納皮爾的未竟事業，以10為底列出一個很詳細的對數表。並且於1619年發表了《奇妙對數規則的結構》，於書中詳細闡述了對數計算和造對表的方法。 納皮爾對數字計算特別有研究，他的興趣在於球面三角學的運算，而球面三角學乃因應天文學的活動而興起的。他重新建立了用於解球面直角三角形的10個公式的巧妙記法——圓的部分法則（"納皮爾圓部法則"）和解球面非直角三角形的兩個公式——"納皮爾比擬式"，以及做乘除法用的"納皮爾算籌"。此外，他還發明了納皮爾尺，這種尺子可以機械地進行數的乘除運算和求數的平方根 在納皮爾所處的年代，哥白尼的「太陽中心說」剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科。可是由於當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的「天文數字」，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終於獨立發明了對數。

經過多年的探索，納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》，向世人公布了他的這項發明，並且解釋了這項發明的特點。

所以，納皮爾是當之無愧的「對數締造者」，理應在數學史上享有這份殊榮。偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀的三大數學發明。法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749-1827）曾說：對數，可以縮短計算時間，「在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍」。

⑥ 皮納爾對對數的貢獻

經濟數學團隊為你解答，請及時評價謝謝！
是 約翰·納皮爾，
不是皮納爾
納皮爾研究對數的最初目的，就是為了簡化天文問題的球面三角的計算，他也是受了等比數列的項和等差數列的項之間的對應關系的啟發。納皮爾在兩組數中建立了這樣一種對應關系：當第一組數按等差數列增加時，第二組數按等比數列減少。於是，後一組數中每兩個數之間的乘積關系與前一組數中對應的兩個數的和，建立起了一種簡單的關系，從而可以將乘法歸結為加法運算。在此基礎上，納皮爾藉助運動概念與連續的幾何量的結合繼續研究。

納皮爾畫了兩條線段，設AB是一條定線段，CD是給定的射線，令點P從A出發，沿AB變速運動，速度跟它與B的距離成比例地遞減。同時，令點Q從C出發，沿CD作勻速運動，速度等於P出發時的值，納皮爾發現此時P、Q運動距離有種對應關系，他就把可變動的距離CQ稱為距離PB的對數。

當時，還沒有完善的指數概念，也沒有指數符號，因而實際上也沒有「底」的概念，他把對數稱為人造的數。對數這個詞是納皮爾創造的，原意為「比的數」。

他研究對數用了20多年時間，1614年，他出版了名為《奇妙的對數定理說明書》的著作，發表了他關於對數的討論，並包含了一個正弦對數表。
納皮爾與對數
納皮爾（Napier，1550－1617年）是蘇格蘭數學家。納皮爾1550年出生在蘇格蘭首府愛丁堡，他從小喜歡數學和科學，並以其天才的四個成果被載入數學史．。其中他發明的對數使整個歐洲沸騰了。．拉普拉斯認為「對數的發現，以其節省勞力而延長了天文學家的壽命」。可以說對數的發現使現代化提前了至少二百年。

對數是中學初等數學中的重要內容，那麼當初是誰首創「對數」這種高級運算的呢？

在納皮爾所處的年代，哥白尼的「太陽中心說」剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科

。可是由於當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的「天文數字」，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終於獨立發明了對數。

當然，納皮爾所發明的對數，在形式上與現代數學中的對數理論並不完全一樣。在納皮爾那個時代，「指數」這個概念還尚未形成，因此納皮爾並不是像現行代數課本中那樣，通過指數來引出對數，而是通過研究直線運動得出對數概念的。

那麼，當時納皮爾所發明的對數運算，是怎麼一回事呢？在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法。讓我們來看看下面這個例子：

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、……

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……

這兩行數字之間的關系是極為明確的：第一行表示2的指數，第二行表示2的對應冪。如果我們要計算第二行中兩個數的乘積，可以通過第一行對應數字的加和來實現。

比如，計算64×256的值，就可以先查詢第一行的對應數字：64對應6，256對應8；然後再把第一行中的對應數字加和起來：6＋8＝14；第一行中的14，對應第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。

納皮爾的這種計算方法，實際上已經完全是現代數學中「對數運算」的思想了。回憶一下，我們在中學學習運用對數簡化計算的時候，採用的不正是這種思路嗎：計算兩個復雜數的乘積，先查《常用對數表》，找到這兩個復雜數的常用對數，再把這兩個常用對數值相加，再通過《常用對數的反對數表》查出加和值的反對數值，就是原先那兩個復雜數的乘積了。這種「化乘除為加減」，從而達到簡化計算的思路，不正是對數運算的明顯特徵嗎？

經過多年的探索，納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》，向世人公布了他的這項發明，並且解釋了這項發明的特點。所以納皮爾是當之無愧的「對數締造者」，理應在數學史上享有這份殊榮。偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀的三大數學發明。法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯曾說：對數，可以縮短計算時間，「在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍」。

下面是廣泛流傳的有關納皮爾的兩個小故事

一次，他宣稱他的黑毛公雞能為他證實，他的哪一個僕人偷了他的東西。僕人們被一個接一個地派進暗室。要他們拍公雞的背，僕人們不知道耐普爾用煙灰塗黑了公雞的背。自覺有罪的那個僕人怕碰著那個公雞。所以回來時手是干凈的。

還有一次耐普爾因他的鄰居的鴿子吃他的糧食而感到煩腦，他恫嚇道：如果他鄰居不限制鴿子，讓它們亂飛，他就要沒收些鴿子。鄰居認為他的鴿子是根本不可能被捉住的，就告訴耐皮爾，如果他能捉住他們，盡管捉好了。第二天，鄰居看到他的那些鴿子在耐普爾的草坪上蹣跚地走著，十分驚訝。耐普爾鎮靜自若地把它們裝進一隻大口袋．原來，耐普爾在他的草坪上各處撒了些用白蘭地酒泡過的豌豆，使這些鴿子醉了。